4.1.1 Ableitung und Extremwerte

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 Bei den in der Ökonomie auftretenden Funktionen lassen sich relative Extremwerte gewöhnlich dadurch charakterisieren, dass an diesen Stellen eine waagerechte Tangente vorliegt, also die Ableitung den Wert Null hat:  f'(x0) = 0. Mit Hilfe der Ableitung lassen sich daher Aussagen über mögliche relative und absolute Extremwerte einer Funktion gewinnen:

1.Fall: Die Ableitung ist im Definitionsbereich überall positiv oder überall negativ.

In diesem Fall befinden sich die Extremwerte am linken und rechten Rand.

2.Fall: Es gibt genau eine Nullstelle der Ableitung

In diesem Fall gibt es drei typische Möglichkeiten:
min_max_sattel

Welche Möglichkeit vorliegt, lässt sich herausfinden, indem man zusätzlich die Randwerte oder Werte in der Umgebung berechnet und diese mit f(x0)  vergleicht.

Auch die - oft mühsam zu berechnende - zweite Ableitung kann Entscheidungshilfe liefern:
  • f " (x0) < 0  bedeutet, dass ein (relatives, in diesem Fall auch absolutes) Maximum vorliegt,
  • f " (x0) < 0  bedeutet, dass ein (relatives, in diesem Fall auch absolutes) Minimum vorliegt,
  • f " (x0) = 0  bedeutet, dass weitere Untersuchungen erforderlich sind.

3.Fall: Es gibt mehrere Nullstellen der Ableitung
Extrema

In diesem Fall muss man die relativen Minima und Maxima untereinander und mit den Randwerten vergleichen, um die absoluten Extremwerte zu ermitteln.