 
|
Ein Unternehmen möchte mit kostenminimalem Einsatz zweier Produktionsfaktoren mit den Mengen x und y eine vorgeschriebene Outputmenge c realisieren. Die Preise für die Produktionsfaktoren sind p und q. Damit sind die Kosten
K = p x + q y
Der Output wird durch die Produktionsfunktion beschrieben:
z = x a y b
Beispiel:
x = Produktionsfaktor Arbeit, Anzahl der Arbeiter
y = Produktionsfaktor Kapital, Anzahl der Maschinen eines Typs
a = 0,2
b = 0,8
c = 25 (Sollwert des Output)
p = 60 [ Tausend € / Jahr ]
q = 20 [ Tausend € / Jahr ]
x = 50 (Arbeiter)
y = 10 (Maschinen)
K = 60 * 50 + 20 * 10 = 3200 €
z = 50 0,2 * 10 0,8 = 13,80 (Der Sollwert c = 25 wird also längst nicht erreicht.)
Allgemein
f (x, y) = p x + q y = Min
g (x,y) = x a y b - c = 0
fx = p , gx = a x a-1y b
fy = q , gy = b x a y b-1
(1) fx + λ gx = p + λ a x a-1y b = 0
(2) fy + λ gy = q + λ b x a y b-1 = 0
(3) g = x a y b - c = 0
(1), (2):
-λ = (p/a) x 1-a y -b
= (q/b) x -a y 1-b | * x a y b
bp x = aq y
y = [bp / (aq)] x
(3) x a ([bp / (aq)] x) b = c
[bp / (aq)] b x a+b = c
x = (c [bp / (aq)] -b)1/(a+b)
y = (c [aq / (bp)] -a)1/(a+b)
f = p (c [bp / (aq)] -b)1/(a+b)
+ q (c [aq / (bp)] -a)1/(a+b)
|
Zahlenbeispiel
f (x, y) = 60 x + 20 y = Min
g (x,y) = x 0,2 y 0,8 - 25 = 0
fx = 60 , gx = x -0,8 y 0,8
fy = 20 , gy = x 0,2 y -0,2
(1) fx + λ gx = 60 + λ 0,2 x -0,8 y 0,8 = 0
(2) fy + λ gy = 20 + λ 0,8 x 0,2 y -0,2 = 0
(3) g = x 0,2 y 0,8 - 25 = 0
(1), (2):
-λ = (60/0,2) x 0,8 y -0,8
= (20/0,8) x -0,2 y 0,2
0,8 * 60 x = 0,2 * 20 y
y = 12 x
(3) x 0,2 (12 x ) 0,8 = 25
12 0,8 x = 25
x = 25 / 12 0,8
x = 3,42 (3 oder 4 Arbeiter)
y = 41,09 (41 Maschinen)
f = 1027,34 ( T €, min. Kosten, ca.)
|
|
|
