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Das Verfahren von Lagrange dient
dazu, eine Funktion mehrerer Variablen zu optimieren, wenn zusätzliche
Nebenbedingungen in Form von Gleichungen vorliegen. Wir beschränken
uns auf eine Zielfunktion, die von zwei Variablen abhängt, und eine
einzige Nebenbedingung (NB). Bei der NB schreiben wir alles auf die linke
Seite, so dass rechts eine Null steht.
Zielfunktion:
f(x, y) = Min bzw. Max
Nebenbedingung g(x, y) = 0
Ähnlich wie man ohne Nebenbedingungen die (partiellen) Ableitungen zur
Optimierung verwenden kann, führt man auch hier die Optimierung auf
die Lösung eines Gleichungssystems (der "Lagrangeschen Gleichungen")
zurück:
(1) fx + λ gx = 0
(2) fy + λ gy = 0
(3) g = 0
Dies ist ein Gleichungssystem für die drei(!) Unbekannten x, y und λ (Lambda). Um es zu lösen, kann man i. a. λ
aus den ersten beiden Gleichungen eli minieren, so dass man nur noch eine
Gleichung für x und y hat, die sich dann zusammen mit der Nebenbedingung
(3) hoffentlich nach x und y auflösen lässt. Dass man damit tatsächlich
das gewünschte Optimum gefunden hat, ist nicht ohne weiteres klar, lässt
sich jedoch bei ökonomischen Anwendungen oft einsehen.
Der Wert von λ
gibt Auskunft darüber, wie stark die Nebenbedingung an der Optimalstelle
unsere Zielfunktion beschränkt, genauer: um welchen Betrag sich die
Zielfunktion verbessern ließe, wenn man die Nebenbedingung um einen
(kleinen) Betrag lockern würde. λ heißt "Lagrangescher Multiplikator".
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