Optimierung einer Funktion mehererer Variablen

4.2.2 Optimierung einer Funktion mehererer Variablen

Die für Funktionen einer Veränderlichen bei der Optimierung eingeführten Begriffe (relatives bzw. absolutes Maximum bzw. Minimum) lassen sich auf Funktionen mehrerer Veränderlichen übertragen. Ebenso wie man die Ableitung einer Funktion verwenden kann, um Extremwerte zu finden, kann man bei Funktionen mehrerer Veränderlichen die partiellen Ableitungen verwenden. Um Extremwerte zu finden, wird man die partiellen Ableitungen nach sämtlichen Variablen nullsetzen und das daraus entstehende Gleichungssystem auflösen.

Ähnlich wie bei Funktionen einer Variablen erhält man auch hier mit Hilfe der zweiten Ableitungen einige "hinreichende" Bedingungen. Eine entscheidende Rolle spielt dabei die "Diskriminante"

D = z_xx z_yy - z_xy ²

D > 0 und z_xx > 0: lokales Minimum
D > 0 und z_xx < 0: lokales Maximum
D < 0: Sattelpunkt
D = 0: weitere Untersuchungen erforderlich.

Beispiel:

z_xx = 6, z_yy = 4, z_xy = z_yx = 10
D = 6 * 4 - 10² = - 76 < 0.

Es liegt ein Sattelpunkt vor.