Finanzmathematik - Aufgaben

  1. Einmalige Zahlung
Aufgabe 1: Entwicklung der Grundformel
Aufgabe 2: Zahlenbeispiele
Aufgabe 3: Umformung der Grundformel
Aufgabe 4: Monatlicher Zinssatz

2. Regelmäßige Zahlung
Aufgabe 5: REW-Formel, vorschüssig
Aufgabe 6: REW-Formel, nachschüssig
Aufgabe 7: Rentenbarwert RBW
Aufgabe 8: Auflösung der REW-Formel
Aufgabe 9: monatliche Zahlung
Aufgabe 10: Excel

3. Einmalige und regelmäßige Zahlungen
Aufgabe 11: einmalig und regelmäßig
Aufgabe 12: Barzahlung vs. Ratenzahlung
Aufgabe 13: BAföG
Aufgabe 14: Kreditangebot
Aufgabe 15: Restschuld
Aufgabe 16: Effektivzins

4. Weitere Aufgaben
Aufgabe 17: Einbeziehung aktueller Daten
Aufgabe 18: Tagesanleihe der Bundes-Finanzagentur
Aufgabe 19: Zinsaufgabe von Fibonacci (Liber abaci, 1202)

Lösungen (PDF) (1-16, zum Ausdrucken),
Formelsammlung (PDF)

Restschuldrechner
Taschenrechner
Optionswert nach Black-Scholes

Excel:
prozent.xls, prozente.xls
Webquery: Einlesen von Aktienkursen

© 2016 Siegfried Zseby


1. Einmalige Zahlung

Aufgabe 1: Entwicklung der Grundformel

Ein Kapital von 2000 € wird zu einem Jahreszins von 4% angelegt.

(a) Berechnen Sie den Wert des Kapitals nach 1, 2, 3 und allgemein nach n Jahren.
(b) Geben Sie eine allgemeine Formel an für das Endkapital Kn bei einem Anfangskapital K0, einem Zinssatz p und einer Laufzeit von n Jahren. Beachten Sie dabei, daß im Zahlenbeispiel nicht p = 4 sondern p = 4% = 0,04 ist und verwenden sie anstelle des Zinssatzes p den "Wachstumsfaktor" q = 1 + p.

Lösung
 

Aufgabe 2: Zahlenbeispiele

Erstellen Sie eine Excel-Tabelle zur Berechnung des Endkapitals bei einem Anfangskapital K0 = 4000 € für die Zinssätze 3%, 4%, ... , 8% und die Laufzeiten 0, 1, ..., 10 Jahre.

Lösung
 

Aufgabe 3: Umformung der Grundformel

Berechnen Sie die fehlenden Parameterwerte und lösen Sie die Zinsformel auch allgemein nach den gesuchten Parametern auf.
 
Zeile
K0
q
n
Kn
(1)
4000
1,06
5
?
(2)
?
1,06
5
6000
(3)
4000
?
5
6000
(4)
4000
1,06
?
6000
Lösung
 

Aufgabe 4: Monatlicher Zinssatz

Ein Kapital von 10000 € wird zu einem Jahreszinssatz von 6% zwei Jahre lang angelegt.

(a) Berechnen Sie den Wert des Kapitals nach 6, 9, 12 und 24 Monaten.
(b) Wie hoch sind der monatliche Wachstumsfaktor und der monatliche Zinssatz?
(c) Geben Sie allgemein den Zusammenhang zwischen dem jährlichen Wachstumsfaktor qj und dem monatlichen Wachstumsfaktor qm an.

Lösung
 

 2. Regelmäßige Zahlung

Aufgabe 5: REW-Formel, vorschüssig

Am Anfang jedes Jahres ("vorschüssig") wird ein Betrag von 800 € auf ein Sparkonto eingezahlt. Bei einer jährlichen Verzinsung von 6% wird am Ende des fünften Jahres der gesparte Betrag zuzüglich Zinsen zurückgezahlt.

(a) Welchen Betrag erhält der Sparer? (Rentenendwert REW)
(b) Versuchen Sie, hierfür eine allgemeine Formel zu finden.
(REW in Abhängigkeit von der Rate r, dem Wachstumsfaktor q = 1 + p  und der Laufzeit n)

Lösung
 

Aufgabe 6: REW-Formel, nachschüssig

Lösen Sie eine Variante zu Aufgabe 5, indem Sie die Zahlung am Ende jedes Jahres ("nachschüssig") wählen.
Versuchen Sie, eine Formel zu finden, die beide Fälle (vorschüssige und nachschüssige Zahlung) abdeckt.

Lösung
 

Aufgabe 7: Rentenbarwert RBW

Welche einmalige Zahlung muß man am Anfang der Laufzeit leisten, um am Ende denselben Betrag zu erzielen wie bei den regelmäßigen Zahlungen

(a) in Aufgabe 5 (vorschüssig),
(b) in Aufgabe 6 (nachschüssig)?
(c) Geben Sie wieder eine allgemeine Formel für diesen "Rentenbarwert" RBW an.

Lösung
 

Aufgabe 8: Auflösung der REW-Formel

Berechnen Sie die fehlenden Parameterwerte, und lösen Sie die Rentenendwertformel bzw. die Rentenbarwertformel auch (soweit möglich!) allgemein nach den gesuchten Parametern auf. (v = 1: vorschüssig, v = 0: nachschüssig)
 
 
Zeile
r
q
n
v
REW
RBW
(1)
2000
1,06
5
0
?
?
(2)
2000
1,06
5
1
?
?
(3)
?
1,06
5
0
12000
?
(4)
2000
?????
5
0
12000
?
(5)
2000
1,06
?????
0
12000
?
(6)
?
1,06
5
0
?
10000
Lösung
 

Aufgabe 9: monatliche Zahlung

Berechnen Sie die fehlenden Parameterwerte für n monatliche Zahlungen (v = 1: vorschüssig, v = 0: nachschüssig).
 
Zeile
r
qj
qm
n
v
REW
RBW
(1)
200
1,08
 
48
0
?
?
(2)
200
1,08
 
48
1
?
?
(3)
?
1,08
 
48
0
12000
?
(4)
200
?????
 
48
0
12000
?
(5)
200
1,08
 
?????
0
12000
?
(6)
?
1,08
 
48
0
?
10000
Lösung
 

Aufgabe 10: Excel

Erstellen Sie eine Excel-Tabelle für die monatliche Zahlung der Aufgabe 9 (Zeile 1), in der für jeden Monat (Monatsende) der Gesamtbetrag ermittelt wird.

Lösung

 3. Einmalige und regelmäßige Zahlungen

Aufgabe 11: einmalig und regelmäßig

Für eine einmalige und eine anschließende regelmäßige Zahlung sind folgende Parameter gegeben:
K0  = 5000, r = 1000, v = 0, n = 4, q = 1.06

(a) Berechnen Sie den Gesamtwert am Ende der Laufzeit.
(b) Ermitteln Sie den Gesamtwert nach 2,5 Jahren.
(c) Interpretieren Sie die einmalige Zahlung als Darlehen, die regelmäßige Zahlung als Rückzahlung, und berechnen Sie die Restschuld.

Lösung
 

Aufgabe 12: Barzahlung vs. Ratenzahlung

K0  = 2000 € bar soll 18 Monatsraten äquivalent sein. Dabei sind zunächst 6 Monate frei, danach sind die 18 Monatsraten vorschüssig zu zahlen.

(a) Berechnen Sie die Monatsrate bei einem effektiven Jahreszins von 12%
(b) Berechnen Sie den effektiven Jahreszins bei einer Monatsrate von 150 €

Lösung
 

Aufgabe 13: BAföG

Ein Student erhält BAföG, und zwar 2 Jahre lang monatlich 500 € (vorschüssig). Danach hat er 3 Jahre Ruhe. Anschließend muß er 5 Jahre lang monatlich 200 € (vorschüssig) zurückzahlen.

(a) Wie hoch wäre seine Restschuld am Ende der gesamten Laufzeit bei einem jährlichen Zinssatz von 10%.
(b) Welchem Barwert entspricht diese Restschuld.

Lösung
 

Aufgabe 14: Kreditangebot

Eine Bank bietet Ihnen einen Kredit von 2700 € an, der in Monatsraten von 100 € nachschüssig zurückzuzahlen ist, und zwar 31 Raten a 100 €, letzte (= zusätzliche) Rate 170,24 €. Der effektive Jahreszins wird mit 15.58 % angegeben. Überprüfen Sie diesen Zinssatz, indem Sie den REW und den RBW der 32 Raten berechnen.

Lösung
 

Aufgabe 15: Restschuld

Zur Baufinanzierung wird ein Kredit von 100 000 € aufgenommen. Am Anfang jedes Monats werden 2000 € zurückgezahlt. Es wird ein jährlicher Zinssatz von 12% zugrundegelegt.
(a) Berechnen Sie die Restschuld nach 3 Jahren.
(b) Wie hoch muß die monatliche Rate gewählt werden, wenn die Restschuld nach 3 Jahren 80 000 € betragen soll?
(c) Nach welcher Zeit ist bei einer Monatsrate von 2000 € die Restschuld erstmals unter 50 000 €?
(d) Welchem Effektivzinssatz entspricht eine Restschuld von 70 000 €?

Lösung
 

Aufgabe 16: Effektivzins

Ein Darlehen von 10 000 € soll innerhalb von 6 Jahren zurückgezahlt werden. Folgende Fälle sind zu untersuchen:

(a) am Anfang jedes Jahres (= vorschüssig) 2400 €,
(b) am Anfang jeden Monats (= vorschüssig) 200 €,
(c) am Ende jeden Monats (= nachschüssig) 200 €.

Ermitteln Sie den Effektivzinssatz durch "Probieren".

Dabei sind im Fall (a) zwei Bezugszeitpunkte zu wählen:
(1) das Ende des sechsten Jahres (Rentenendwert),
(2) der Anfang des ersten Jahres (Rentenbarwert).
In den Fällen (b) und (c) soll mit dem Rentenbarwert gearbeitet werden.

Lösung

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