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| Sie befinden sich im Kapitel 4 - Optimierung | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4.2 Funktionen mehrerer Variablen 4.2.2 Optimierung mit Nebenbedingungen (2) Beispiel Ein Wassergraben soll einen (rechteckigen) Querschnitt von 0,5 m2 haben, damit er genügend Wasser ableiten kann.  Man kann nun wählen, ob man ihn etwa quadratisch oder sehr breit und flach oder sehr schmal und hoch betoniert. Gesucht ist diejenige Möglichkeit, bei der die Menge des Materials, repräsentiert durch den Umfang, minimal wird. Bezeichnung: Breite = x, Höhe = y. Zielfunktion: Umfang f(x, y) = x + 2y = Min Nebenbedingung: Fläche = 0,5 g(x, y) = xy - 0,5 = 0
-x + 2y = 0  x = 2y, Einsetzen in die Nebenbedingung (3): xy - 0,5 = 2y, y - 0,5 = 0, 2y2 = 0,5, y2 = 0,25 y = 0,5, x = 2y = 1,0  = -1/y = -2, | | = 2
Ergebnis: Der Graben muss doppelt so breit (1m) wie hoch (0,5m) sein. Der minimale Umfang beträgt dann 2m. Interpretation von : Wenn man die Nebenbedingung etwas lockert, z. B. nur einen Querschnit von 0,4 m2 fordert, dann lässt sich der minimale Umfang um 2 0,1 = 0,2 m,also von 2m auf 1,80m reduzieren. |
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